解答:这是一道比较费脑筋的题目.花了我半个小时才理出了个头绪.要利用90个埃及分数：1／2,1／3,1／4,…,1／90,1／91,从中挑出10个,加上正负号,使他们的和等于－1.(即每个分数的分子都是1,而每个分数的分母都不同.)所以我猜想如果可以找一个数字,让它做分母,同时把这个数字可以用它的不同因数(最少10个)拆开,且不同因数的和正好等于这个分母的相反数,问题就解决了.所以我想构造一个2,3,4,5,6,7,8,9的最的公倍数是(2^3)*(3^2)*5*7=8*9*5*7这个数字太大,不可能用它来做分母.经过观察得到(2^3)*(3^2)=8*9=72,它可以作为未来十个分数的公分母.再仔细观察(2^3)*(3^2)的因数有3+2+3*2+1=12,即:(2,4,8)(3,9)(6,18,12,36,24,36,72)(1).(考虑到未来注释:[第一个括号内的72的因数由单一因数2形成,分别是2^1,2^2和2^3[第二个括号内的72的因数由单一因数3形成,分别是3^1和3^2[第三个括号内的72的因数由因数2和3形成,分别是2,4,8与3,9的两两成积.[第四个括号内是任何数的因数=1将上述的因数按由小到大排列即:1,2,3,4,6,8,9,12,18.24,36,72.因为72/72=1,实际上已经不是分数,所以拿掉这个因数,剩11个因数.剩下的问题就是如何在1,2,3,4,6,8,9,12,18.24,36共11个数字中,选择10个通过添加正负号使得它的结果等于72了.(因为加和的结果是不是-72,所以奇因数应该成对出现)在EXCEL中将上述的因数选择10个一一键入,排成一列,求和.然后通过”只调整正负号”,使得结果等于72就成了.我至少得到以下三组结果.A:(-2,3,4,-6,-8,-9,-12,18,-24,-36)B:(2,3,-4,-6,8,-9,12,-18,-24,-36)C:(-1,-2,3,-4,-6,-8,-12,18,-24,-36)所以我们可以分别得到A:(-2+3+4–6–8–9–12+18–24-36)/72=-72/72=-1B:(2+3–4–6+8–9+12–18–24-36)/72=-72/72=-1C:(-1,-2,3,-4,-6,-8,-12,18,-24,-36)/72=-72/72=-1左边化简得到:A:(-2+3+4–6–8–9–12+18–24-36)/72=-2/72+3/72+4/72–6/72–8/72–9/72–12/72+18/72–24/72–36/72=-1/36+1/24+1/18–1/12–1/9–1/8–1/6+1/4–1/3–1/2B:(2+3–4–6+8–9+12–18–24-36)/72=2/72+3/72–4/72–6/72+8/72–9/72+12/72–18/72–24/72–36/72=1/36+1/24–1/18–1/12+1/9–1/8+1/6–1/4–1/3–1/2C:(-1–2+3-4-6-8–12+18-24-36)/72=-1/72–2/72+3/72–4/72–6/72–8/72–12/72+18/72–24/72–36/72=-1/72–1/36+1/24–1/18–1/12–1/9–1/6+1/4–1/3–1/2题外话:我后边又再想了,我找到的几个数字都是以72为公分母,有没有其他的合乎条件的不是72的数字呢?经过我的证明和列举,说明再没有合乎条件的公分母了.下面给出我的过程,希望指正.假定我们采用的每一个因数都不浪费,(这要求不同因数之间互质,即两两没有公约数,1除外).取出的n个数字每一个都不同,而且假定n个数字的任意两个,三个,知道n个的乘积都不大于91,那么所有因数的个数是1+n+combin(n,2)+combin(n,3)+…+combin(n,n-1)=combin(n,0)+combin(n,1)+combin(n,2)+combin(n,3)+…+combin(n,n-1)=2^n-combin(n,n)=2^n-1[其中combin(n,m)是组合的表达式(0=4,而实际上取出的n个数字中并不是每一个都不同(在例子中2被取了三次,实际上只能计做1个因数,而不是3个因数),而且假定n个数字的任意两个,三个,知道n个的乘积并不是总都不大于91,所以实际的因数数量会比2^n-1要少.n的最小值是4,即最少要选择4个数,否则不会有10个不同的(不含1和最大)的因数.下面列表给出了所有可以分解成4个或者4个以上因数乘积((即n>=4)的,小于等于91的,可能作为最终公分母的数字,的因数表和因数个数表.从中可以看出,只有公分母72符合条件.有至少10个不同因数.(不含本身).[分母][因数积][因数][合条件个数][64][2*2*2*2*2*2][1,2,4,8,16,32,64][6][32][2*2*2*2*2][1,2,4,8,16,32][5][16][2*2*2*2][1,2,4,8,16][4][48][2*2*2*2*3][1,2,4,8,16,3,6,12,24][9][80][2*2*2*2*5][1,2,4,8,16,5,10,20,40][9][24][2*2*2*3][1,2,4,8,3,6,12][7][72][2*2*2*3*3][1,2,4,8,3,9,6,18,12,36,24][11][40][2*2*2*5][1,2,4,8,5,10,20][7][56][2*2*2*7][1,2,4,8,7,14,28][7][88][2*2*2*11][1,2,4,8,11,22,44][7][81][3*3*3*3][1,3,9,27][4][54][3*3*3*2][1,3,9,27,2,6,18][7]