已知w≠1,w^3=1,求w+2w^2+…+30w^30,2小时内要!
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更新时间：2024-04-20 10:14:26
问题描述：
已知w≠1,w^3=1,求w+2w^2+…+30w^30,2小时内要!
廖文志回答：
因为w^3=1,所以w^(3n)=1,w^(3n+1)=w,w^(3n+2)=w^2,n=1、2、3、...为正整数；所以w+2w^2+3w^3+...+30w^30=(w+2w^2+3)+(4w+5w^2+6)+(7w+8w^2+9)+...+(28w+29w^2+30)=(1+4+7+...+28)w+(2+5+8+...+29)w^2+(3+6+9+...+30)=5(29w+31w^2+33)①；因为w^3=1,所以w=cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)②,因为w≠1,所以k≠0,k=1、2；将k=1带入②得w1=-1/2+i√3/2③；将k=2带入②得w2=-1/2-i√3/2④；将③、④分别带入①得：原式=5(3-i√3)或者5(3+i√3),统一表示为：原式=5[3+i(-1)^k√3].
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