【椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的直线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰三角形,则离心率e=】
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更新时间：2024-04-20 12:01:14
问题描述：
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的直线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰三角形,则离心率e=
荣厚回答：
设焦距为2r,则|OF1|=|OF2|=r;
则|OA|=|OB|=r=|OF2|=|OF1|（因为A、B和F1都位于圆上）
所以△F2OA为等腰三角形,所以可知∠AF2O=∠OAF2=30°,所以,∠AOF1=60°
∵OA=OF1,所以△F1OA也为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）；
所以,|AF1|=r；∠F1AF2=90°
所以,|AF2|=|F1F2|cos30°=2r*cos30°=2r*√3/2=√3*r；
|AF1|+|AF2|=2*a=r+√3*r=(1+√3)*r；
所以,离心率e=r/a=2/(1+√3)=√3-1
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