2000年第26届俄罗斯数学奥林匹克十年级决赛试题在矩形桌子上放着许多相等而不重合的正方体纸片,其边都平行桌子的边且被分别染成k(k>=2)种颜色之一.如果考虑任意k个颜色互不相同的正方形
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更新时间：2024-04-19 15:51:24
问题描述：
2000年第26届俄罗斯数学奥林匹克十年级决赛试题
在矩形桌子上放着许多相等而不重合的正方体纸片,其边都平行桌子的边且被分别染成k(k>=2)种颜色之一.如果考虑任意k个颜色互不相同的正方形,那么它们中都有两个可用一枚钉子钉在桌上.证明：可用（2k-2）枚钉子把某一种颜色的所有正方形全部钉在桌上.
很难的题,很想弄懂,给个100分,
三易巾凡,实在抱歉，你的答案我看得不太懂，能写具体些吗？
李蕊回答：
对颜色数k作归纳.假设k种颜色编号为C[1],C[2],...,C[k]：
1.k=2,找出桌面上最左端的正方形s,假设它的颜色为C[1],则所有颜色为C[2]的正方形均与之相交,并且这些正方形至少包含s右边的两个顶点之一,从而可以用2个钉子钉住颜色为C[2]的所有正方形.
2.设k=n时命题成立,k=n+1时,同样找出桌面上最左端的正方形s,假设它的颜色为C[n+1],将除s外的所有颜色为C[n+1]的正方形除去,则剩下的k色正方形可以分成两类,一类和s相交(这些正方形至少包含s右边的两个顶点之一),另一类满足:任k个颜色互不相同的正方形,存在两个正方形相交(否则这k个正方形和s组成的k+1个异色正方形两两不相交,矛盾).第一类可用两个钉子钉住,第二类根据归纳假设可用2k-2个钉子钉住其中的某一色正方形,该色正方形即被2k-2+2=2(k+1)-2个钉子完全钉住.
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