【已知F是抛物线X平方=2Y的焦点,A,B是该抛物线上的两动点,且|AB|=5则线段AB的中点到X轴的距离的最小值为?加急理科数学问题】
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更新时间：2024-04-26 11:26:34
问题描述：
已知F是抛物线X平方=2Y的焦点,A,B是该抛物线上的两动点,且|AB|=5则线段AB的中点到X轴的距离的最小值为?
加急理科数学问题
姜松回答：
连结AF、BF,分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别是C、D.
由抛物线方程x^2＝2y,得：抛物线的准线方程为x＝－1/2.
由抛物线定义,有：｜AC｜＋1/2＝｜AF｜、｜BD｜＋1/2＝｜BF｜.
显然有：｜AF｜＋｜BF｜≧｜AB｜＝5,且当F在AB上时,有：｜AF｜＋｜BF｜＝5.
而｜AC｜＋｜BD｜＋1＝｜AF｜＋｜BF｜,∴｜AC｜＋｜BD｜的最小值为4.
取AB的中点为M,过M作MN⊥x轴交x轴于N.
由AC⊥x轴、MN⊥x轴、BD⊥x轴,得：AC∥MN∥BD,又M∈AB且AM＝BM,
∴由梯形中位线定理,有：MN＝（1/2）（｜AC｜＋｜BD｜）.
∵｜AC｜＋｜BD｜的最小值为4,∴MN的最小值为2.
∴AB的中点到x轴的距离的最小值为2.
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