【请问怎样用数学归纳法证明这个数列不等式已知an+1(指第n+1项)=an+(an^2)/(n^2),a1=1/3.求证an>1/2-1/4n.另外我将不等式放缩成更严格的先求证an>1/2-1/5n后反而好证了,是什么道理呢?】
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更新时间：2024-04-25 19:03:41
问题描述：
请问怎样用数学归纳法证明这个数列不等式
已知an+1(指第n+1项)=an+(an^2)/(n^2),a1=1/3.求证an>1/2-1/4n.另外我将不等式放缩成更严格的先求证an>1/2-1/5n后反而好证了,是什么道理呢?
单银忠回答：
证明：
当n=1时,a2=a1+(a1^2)/1^2=1/3+1/18=7/18>1/2-1/4=7/28成立
设n=k时,ak+1=ak+(ak^2)/(k^2)>1/2-1/4k成立
当n=k+1时,ak+2=ak+1+(ak+1^2)/(k+1)^2
>1/2-1/4k+(1/2-1/4k)^2/(k+1)^2
=1/2-1/4[k-(1/2-1/4k)^2/(k+1)^2]
=1/2-1/4[(k^3+2k^2+k-1+k-1/4k^2)/(k+1)^2]
>1/2-1/4[(k^3+3k^2+3k+1)/(k+1)^2]
=1/2-1/4[(k+1)^3/(k+1)^2]
=1/2-1/4(k+1)成立
所以an>1/2-1/4n
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